Matematika, statisztika és operációkutatás

AJÁNLOM AZ OLDALT

Bejelentkezés

Regisztráció
Elfelejtettem a jelszót

Menü

Kezdõlap

Legyen a Matek Tanár a kezdõlapod

Keress az oldalon

Beethoven ált. Iskola

Menü

Matekfeladatok

K. 13. Határozzuk meg a 7¹+7²+...+7²⁰⁰⁵ összeg utolsó két számjegyét.

K. 14. Alsóhuta, Felsõhuta és Középhuta között számos út vezet. Tudjuk azonban, hogy bármely két falu között a közvetlen utak száma legalább 3 és legfeljebb 10. Alsóhutáról Felsõhutára eljuthatunk közvetlenül, valamint Középhután keresztül is, összesen 33 különbözõ útvonalon. Hasonlóan Középhutáról Felsõhuta közvetlenül, valamint Alsóhuta érintésével is megközelíthetõ, összesen 23 különbözõ módon. Hány különbözõ útvonal vezet összesen Középhutáról Alsóhutára (közvetlenül, illetve Felsõhután keresztül)?

Példa: Az ábrán Alsóhutáról Felsõhutára 2 út vezet közvetlenül és 3^.2=6 Középhután keresztül, ez összesen 8.

K. 15. Az ABCD konvex négyszög A csúcsánál 100^o-os szög van. Tudjuk, hogy az AC átló egy egyenlõ oldalú és egy egyenlõ szárú háromszögre osztja a négyszöget. Számítsuk ki a négyszög belsõ szögeinek nagyságát.

K. 16. a) A 9, 8, 7, 6 számjegyek egyszeri felhasználásával alkossunk két darab kétjegyû számot úgy, hogy szorzatuk a lehetõ legnagyobb legyen.

b) A 9, 8, 7, 6, 5, 4 számjegyek egyszeri felhasználásával alkossunk három darab kétjegyû számot úgy, hogy szorzatuk a lehetõ legnagyobb legyen.

Indokoljuk is mindkét esetben, hogy miért a kapott számok lesznek a megfelelõ számok.

K. 17. Az ABCD konkáv négyszög oldalai AB=13 cm, BC=4 cm, CD=3 cm, DA= 12 cm, a C csúcsnál lévõ belsõ szöge pedig 270^o. Mekkora a négyszög területe?

K. 18. Határozzuk meg az a, b, c és d különbözõ számjegyeket úgy, hogy $\overline{abcd}:\overline{dcba}=4$ , ahol $\overline{abcd}$ és $\overline{dcba}$ négyjegyû számokat jelöl.

A K pontversenyben kitûzött gyakorlatok

A K-jelû feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelû feladat helyes megoldásáért 6 pont jár.

C. 780. Egy matematika versenyen három feladatot tûztek ki. Az elsõ feladatot a résztvevõk 85 százaléka oldotta meg, a másodikat 80, a harmadikat pedig 75 százalékuk. Bizonyítsuk be, hogy legalább 40 százalékuk megoldotta mind a három feladatot.

C. 781. Határozzuk meg azokat a pozitív p>q>r prímszámokat, amelyekre

p²- (q+r)²=136.

C. 782. A parttal párhuzamosan, attól 200 méterre halad egy vitorlás a Balatonon. Valaki folyamatosan egy irányban úszva szeretné elérni a közeledõ hajót. A parthoz képest milyen szögben kell elindulnia, ha a vitorlás sebessége 15 km/h, az úszó sebessége 2 km/h, és induláskor a parton mérve 2 km távolságban van a hajótól?

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

C. 783. Az ábrán látható szürkével jelölt tartományt az A csúcsú 30^o-os szög szárai és egy O középpontú körív határolják. Mekkora a tartomány területe, ha

AO=AB=1.

C. 784. Az ABCDEFGH téglatestben - a szokásos betûzéssel - AE = 1, AD = 2, AB=3. Mekkora annak a testnek a térfogata, amelynek a csúcsai A és C, valamint az EFGH lap éleinek a felezõpontjai?

A C pontversenyben kitûzött gyakorlatok

Minden C-jelû feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

B. 3762. Két vízzel színültig töltött henger alakú tartályból pontosan délben egy-egy azonos teljesítményû szivattyú egyenletes sebességgel szivattyúzni kezdte a vizet. 14 órakor a két tartályban ugyanolyan magasan állt a víz. 17 órakor kiürült az elsõ tartály, 20 órakor pedig a második tartály is. Ha a második tartály 10 méter magas, akkor milyen magas az elsõ?

(3 pont)

B. 3763. Az ABCD konvex négyszög belsejében adott egy P pont. Bizonyítsuk be, hogy

PA²+PB²+PC²+PD² $\ge$ 2t_ABCD.

(3 pont)

B. 3764. Az ABC szabályos háromszög AB oldalának A-hoz közelebbi negyedelõpontja C₁, a BC oldal negyedelõpontjai pedig A₁, A₂ és A₃. Mekkora az AA₁C₁, az AA₂C₁ és az AA₃C₁ szögek összege?

(4 pont)

B. 3765. Adott 25 különbözõ, 1000-nél nem nagyobb pozitív egész szám úgy, hogy bármely kettõnek a szorzata négyzetszám. Bizonyítsuk be, hogy az adott számok is négyzetszámok.

(4 pont)

B. 3766. Egy matematika versenyen négy feladatot tûztek ki. Az elsõ feladatot a résztvevõk 85 százaléka oldotta meg, a másodikat 80, a harmadikat 75, a negyediket pedig 70 százalékuk. A résztvevõknek legalább hány százaléka oldotta meg valamennyi feladatot?

(4 pont)

B. 3767. Egy háromszög $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ szögeire

sin $\alpha$ +sin $\beta$ =(cos $\alpha$ +cos $\beta$ )sin $\gamma$

teljesül. Mekkora a $\gamma$ szög?

(3 pont)

B. 3768. Egy T₀ téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan szétvágunk két nem egybevágó téglalapra, T₁-re és T₁'-re úgy, hogy a két rész hasonló legyen. Az így adódó T₁ téglalapra megismételjük ugyanezt, a kapott részek egyikére ismét, és így tovább. Van-e olyan T₀ téglalap, amelybõl kiindulva ez az eljárás korlátlanul folytatható?

(5 pont)

B. 3769. Adott egy ellipszis három érintõje és egyik fókusza. Szerkesszük meg a másik fókuszát.

(4 pont)

B. 3770. Hány részre osztják a teret egy szabályos oktaéder lapsíkjai?

(5 pont)

B. 3771. Legyen $a_k=\frac{1}{\binom{n}{k}}$ , $b_k=\frac{1}{2^{n-k}}$ , k =1,2,...,n.

Bizonyítsuk be, hogy

$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+\ldots+\frac{a_n}{n}=b_1+\frac{b_2}{2}+ \frac{b_3}{3}+\ldots+\frac{b_n}{n}.$

(5 pont)

A B pontversenyben kitûzött feladatok

A B-jelû feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétõl függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

A. 356. A P_n(x) polinomsorozatot a következõ rekurzióval definiáljuk: P₀(x)=0, P₁(x)=1 és P_n(x)=x^.P_n-1(x)+(1-x)^.P_n-2(x). Határozzuk meg P_n(x) gyökeit.

A. 357. Adottak a k₁,k₂,k₃, ... diszjunkt körök. A k_i kör sugara $\frac{1}{i}$ , középpontja P_i. Lehetséges-e, hogy a P_i pontsorozat konvergens?

A. 358. Az a, b, c pozitív számokra teljesül, hogy abc=1. Bizonyítsuk be, hogy

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{3}{a+b+c}\ge2 \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\cdot\frac{1}{a^2+b^2+c^2}.$

Az A pontversenyben kitûzött nehezebb feladatok

Minden A-jelû feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

K. 7. Hányféleképpen lehet eljutni a sakktáblán a legrövidebb úton (a legkevesebb lépéssel) C5-rõl H2-re a királlyal?

Javasolta: Gáspár Nóra (Budapest)

K. 8. A képen egy egyfõvonalas vasútállomás vázlatos felülnézeti rajza látható. Hány különbözõ útvonalon haladhat át a vasútállomáson egy balról érkezõ vonat?

K. 9. Egy 12 cm élhosszúságú kocka alakú edényt az $\frac{5}{8}$ részéig megtöltöttük folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentettük egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévõ folyadék vízszintjével. Tudjuk, hogy az LC szakasz hossza pontosan a KB szakasz hosszának a kétszerese. Adjuk meg az LC szakasz hosszát.

K. 10. Adjuk meg az összes olyan négyzetszámot, melynek minden számjegye páratlan.

Javasolta: Halász Tamás (Budapest)

K. 11. Az asztalra letettünk egy záródó láncba 6 különbözõ dominót. A dominókon összesen D pont van. Mennyi D lehetséges legkisebb értéke? (A dominók mindkét oldalán 0-6-ig mehet a pontok száma és az érintkezõ dominóoldalakon azonos számú pontnak kell lenni.)

K. 12. Hány pozitív egész szám írható n helyére, ha 2004ⁿ osztója 2004!-nak? [2004! jelöli 1-2004-ig az egész számok szorzatát.]

Ötlet: Englert Ákos (Zalaegerszeg)

A K pontversenyben kitûzött gyakorlatok

A K-jelû feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelû feladat helyes megoldásáért 6 pont jár.

C. 775. Pistike eredeti módon számlál az ujjain. 1-gyel kezdi a hüvelykujján, ezután a 2-t és a 3-at a mutatóujján, a 4-et, 5-öt és a 6-ot a középsõ ujján, a 7-et a gyûrûsujján, a 8-at és 9-et a kisujján. Ezután visszafelé folytatja, a 10-et, 11-et, 12-t megint a gyûrûsujján, 13-at a középsõn, 14-et és 15-öt a mutatón, 16-ot, 17-et, 18-at a hüvelykujján, 19-et ismét visszafelé a mutatóujján és így tovább. Melyik ujján számolja a 2004-et?

C. 776. Mutassunk példát olyan derékszögû háromszögre, amely felbontható öt egybevágó háromszögre.

C. 777. Az özönvíz elõtti jegykezelõ gépek a menetjegy kilenc számozott mezõje közül néhányat - akár az összeset - kilyukasztanak. A gépek beállítójától az ellenõrök azt kérik, hogy a gép ne ugyanazokat a mezõket lyukassza, ha valaki nem az elõírásnak megfelelõen, hanem lapjával fordítva helyezi be a jegyét. Hány ilyen beállítása lehetséges a gépnek?

C. 778. Egy számtani sorozatban jelölje S_m a sorozat elsõ m elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n>k $\ge$ 1 esetén

$\frac{S_{n+k}}{n+k}=\frac{S_n-S_k}{n-k}.$

C. 779. Egy 12x12x35 cm-es, 5 kg tömegû gépsonkát ferdén vágtunk el úgy, hogy a paralelogramma alakú metszet oldalhosszúsága 15 és 20 cm. Mekkora lehet a keletkezett két darab tömege?

A C pontversenyben kitûzött gyakorlatok

Minden C-jelû feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

B. 3752. Mutassuk meg, hogy ha egy konvex nyolcszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlõk, akkor a sokszög feldarabolható paralelogrammákra.

(3 pont)

B. 3753. Jelölje S_m az (a_m) sorozat elsõ m elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy ha minden n $\ne$ k pozitív egészre teljesül, hogy

$\frac{S_{n+k}}{n+k}=\frac{S_n-S_k}{n-k},$

akkor (a_m) számtani sorozat.

(3 pont)

B. 3754. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos háromszög nem bontható föl öt egybevágó háromszögre.

(5 pont)

B. 3755. Egy kör úgy metszi egy konvex négyszög oldalait egy-egy szakaszban, hogy a négyszög belsejébe esõ szemközti körívek hosszának összege egyenlõ. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög húrnégyszög.

(4 pont)

B. 3756. A nyolcjegyû számokat osszuk két halmazba. Az egyik halmazba kerüljenek azok, amelyek felbonthatók két négyjegyû szám szorzatára, a másikba azok, amelyek nem. Melyik halmazba kerül több szám?

(5 pont)

B. 3757. A k₁ és a k₂ körök az A és a B pontokban metszik egymást, egyik közös érintõjük pedig az E₁, illetve az E₂ pontokban érinti a köröket. Bizonyítsuk be, hogy az A, E₁, E₂, illetve a B, E₁, E₂ pontokon átmenõ körök sugara egyenlõ.

(4 pont)

B. 3758. Legyen az n pozitív páros szám. Írjuk az 1,2,...,n² számokat egy nxn-es táblázat mezõibe úgy, hogy a táblázat k-adik sorában az elemek balról jobbra olvasva rendre (k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n legyenek (k = 1,2,...,n).

Színezzük ki az így kitöltött táblázat mezõit bordó és sárga színnel úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a mezõk fele bordó, a másik fele pedig sárga legyen. (A sakktábla-szerû színezés például egy lehetõség.) Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen színezésre a bordó és a sárga mezõkön lévõ számok összege egyenlõ.

(4 pont)

B. 3759. Bizonyítsuk be, hogy minden k pozitív egész számra (2k)! osztható k!^.(k+1)!-sal.

(4 pont)

B. 3760. Az ábrán látható téglatestben az EH él felezõpontja S, a HG él felezõpontja R és a GF él felezõpontja Q. Bizonyítsuk be, hogy az ASR és a DRQ háromszögek területe egyenlõ.

(4 pont)

B. 3761. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(x^2+3y^2)(3x^2+y^2),$

$\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^4-x^4).$

(5 pont)

A B pontversenyben kitûzött feladatok

A B-jelû feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétõl függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

A. 353. Bizonyítsuk be, hogy a $2^{2^n}+1$ és $6^{2^n}+1$ sorozatok együttvéve végtelen sok összetett számot tartalmaznak.

A. 354. Bizonyítsuk be, hogy

$2+ \frac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\dots}}}}}=e.$

A. 355. Az MO ûrvárosban 100 ûrállomás van. Bármely kettõt alagút köt össze. Az alagutak közül 100-ban kétirányú, a többiben egyirányú a közlekedés. 4 ûrállomást szorosan kapcsolódónak nevezünk, ha bármelyikükrõl eljuthatunk a többi háromba a 4 állomás közti alagutakon keresztül. Tervezzük meg az MO várost úgy, hogy abban a lehetõ legtöbb szorosan kapcsolódó négyes legyen. Adjuk meg a maximumot, és bizonyítsuk is be.

Az A pontversenyben kitûzött nehezebb feladatok

Minden A-jelû feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

K. 1. A sakktáblán B8-on és G8-on áll egy-egy gyalog, B1-en pedig egy huszár. Mennyi a lehetõ legkevesebb lépés, amellyel le tudja ütni a huszár mindkét gyalogot? (A gyalogok eközben nem mozognak.)

Javasolta: Nagy Zoltán (Hortobágy)

K. 2. Az ábrán megjelölt, 2-est tartalmazó mezõrõl el kell jutnunk a megjelölt 8-as mezõig. Minden négyzeten maximum egyszer haladhatunk át, minden mezõrõl a vele oldalban szomszédos mezõre léphetünk. Az így érintett számokat összegezzük. Mennyi a legnagyobb összeg, amit így kaphatunk?

K. 3. A koordinátarendszerben megadtunk egy négyszöget a csúcsaival: A(0;0), B(5;0), C(3;2), D(0;1). Mutassuk meg, hogy a négyszög átlói 45^o-os szöget zárnak be egymással.

K. 4. Határozzuk meg a p és a q (pozitív) prímszámokat, ha

p + p² + p⁴ - q - q² - q⁴ = 83 805.

K. 5. Ha egy egyenlõszárú háromszög szögfelezõinek metszéspontjából merõlegeseket állítunk az oldalakra, a három merõleges két kisebb és egy nagyobb deltoidra bontja a háromszöget. Melyik egyenlõszárú háromszögnél lesz a két kisebb deltoid területének összege egyenlõ a nagyobb deltoid területével?

K. 6. Egy szigeten kétféle ember él: jó és rossz. A jók mindig igazat mondanak, a rosszak mindig hazudnak. Természetesen mindenki vagy fiú vagy lány a szigeten. Egyszer két ember a következõket mondta kettejükre vonatkozóan:

- Ali: Rosszak vagyunk.

- Bali: Fiúk vagyunk.

Állapítsuk meg mindkettõrõl, hogy jó-e és hogy milyen nemû!

Javasolta: Szalkai Balázs (Veszprém)

A K pontversenyben kitûzött gyakorlatok

A K-jel feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelû feladat helyes megoldásáért 6 pont jár.

C. 770. Egy 35 fõs osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejûekre és az égimeszelõkre. Az égimeszelõk állítják, hogy magasabbak a kockafejûeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelõtõl: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy

1. Minden égimeszelõ magasabb valamennyi kockafejûnél?

2. A legmagasabb égimeszelõ magasabb a legmagasabb kockafejûnél?

3. Minden égimeszelõ magasabb valamelyik kockafejûnél?

4. Minden kockafejû alacsonyabb valamelyik égimeszelõnél?

5. A legalacsonyabb kockafejû alacsonyabb a legalacsonyabb égimeszelõnél?''

A kérdések hallatán az égimeszelõ szemmel láthatóan összezsugorodott ... A feladat viszont az, hogy megállapítsuk, milyen viszonyban állnak a fenti kijelentések, azaz bármely két állítás esetén döntsük el, következik-e egyikükbõl a másik.

(Hugo Steinhaus nyomán)

C. 771. Matekváros és Fizikaváros különbözõ idõzónában találhatók. Egy repülõ helyi idõ szerint reggel 8-kor indul Fizikavárosból, és még aznap helyi idõ szerint délben érkezik Matekvárosba. A járat két óra múlva visszaindul és ugyancsak helyi idõ szerint este 8 órakor érkezik Fizikavárosba. Az utazás mindkét irányban ugyanannyi ideig tart. Mennyi az idõ Fizikavárosban akkor, amikor Matekvárosban dél van?

C. 772. Történt egyszer egy matematikaórán, hogy egy diák az (a+2b-3)² négyzetre emelést rosszul végezte el, és a²+4b²-9 lett az eredménye. Tanára kérésére ellenõrzésképpen behelyettesített a és b helyére egy-egy természetes számot. A behelyettesítés után az eredmény helyesnek bizonyult. Mely számokat helyettesíthette a tanuló?

C. 773. Egy trapéz alakú földdarab párhuzamos oldalai 2100 méter és 1500 méter, a szárak hossza pedig 613 méter és 37 méter. Hány négyszögöl a telek területe?

C. 774. Mekkora területû a derékszögû koordinátarendszerben azoknak a P(x;y) pontoknak a halmaza, amelyekre teljesül, hogy |x+y|+|x-y| $\le$ 4?

A C pontversenyben kitûzött gyakorlatok

Minden C-jelû feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

B. 3742. Egy 35 fõs osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejûekre és az égimeszelõkre. Az égimeszelõk állítják, hogy magasabbak a kockafejûeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelõtõl: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy

1. Minden égimeszelõ magasabb valamennyi kockafejûnél?

2. Több alacsonyabb kockafejû van a legalacsonyabb égimeszelõnél, mint ahány alacsonyabb égimeszelõ van a legmagasabb kockafejûnél?

3. Többen vannak azok az égimeszelõk, akiknél vannak alacsonyabb kockafejûek, mint azok a kockafejûek, akiknél vannak alacsonyabb égimeszelõk?

4. A kockafejûek átlagmagassága kisebb az égimeszelõk átlagmagasságánál?''

(4 pont)

(Hugo Steinhaus nyomán)

B. 3743. Vágjuk szét az ábrán látható paralelogrammát két részre úgy, hogy a részekbõl egy egységnyi élû kockát lehessen hajtogatni.

(5 pont)

Javasolta: Hajba Károly (Kisvárda)

B. 3744. Hány olyan n pozitív egész szám van, amelyre n²+10n négyzetszám?

(3 pont)

B. 3745. Az a, b, c, d számokra teljesül, hogy a+b>|c-d| és c+d>|a-b|. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a+c>|b-d|.

(3 pont)

B. 3746. Az egyenlõ oldalú ABC háromszög AB oldalán adottak az M és N pontok, a BC oldalon a P, a CA oldalon pedig a Q pont úgy, hogy

MA+AQ=NB+BP=AB.

Mekkora szöget zárhatnak be az MP és az NQ egyenesek?

(4 pont)

B. 3747. Egy háromszög oldalai a, b, c, területe $\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{4}$ . Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

(4 pont)

B. 3748. Az ABC háromszög C csúcsából induló magasságvonal és súlyvonal harmadolják a BCA szöget. Igazoljuk, hogy a háromszög derékszögû.

(4 pont)

B. 3749. Egy téglalap oldalai 5 cm és 9 cm hosszúak. A téglalapot feldaraboljuk tíz olyan téglalapra, amelyek oldalhosszai cm-ben kifejezve egész számok. Bizonyítsuk be, hogy a darabok között van két egybevágó.

(5 pont)

B. 3750. Az {a_n} sorozatról tudjuk, hogy a₁ < a₂ pozitív egész szám, továbbá k $\ge$ 3 esetén a_k = 4a_k-1-3a_k-2. Igazoljuk, hogy a₄₅ > 3⁴³.

(4 pont)

B. 3751. Legyen $f(x)=\frac{x}{1-x}$ . Határozzuk meg a valós számok halmazának azt a legbõvebb részhalmazát, ahol minden pozitív egész n esetén az

$f^{(n)}(x)=\underbrace{f\big(f\big(\dots\big(f}_{n}(x)\big)\dots\big)\big)$

összetett függvény értelmezhetõ.

(4 pont)

A B pontversenyben kitûzött feladatok

A B-jelû feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétõl függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

A. 350. Adjuk meg az összes pozitív p egészt, melyre a 4x²+p polinom a 0,1, ...,p-1 helyeken prím értéket vesz fel.

A. 351. Legyenek a₁, a₂, ...,a_n pozitív számok, melyek összege S, szorzata P, n $\ge$ 3.

Bizonyítsuk be, hogy

$\sum_{i=1}^n\frac{1}{S-a_i}<\sqrt[n-1]{\frac{S}{P}}.$

A. 352. Az ABC nem egyenlõ szárú háromszög körülírt köre legyen k. Az ABC háromszög C-nél levõ belsõ szögfelezõje messe a k kör B-beli érintõjét K-ban, míg a C-nél levõ külsõ szögfelezõ C-tõl különbözõ metszéspontja k-val L. Legyen az AC és LB egyenesek metszéspontja M. Mutassuk meg, hogy az MK egyenes átmegy az AB oldal felezõpontján.

Az A pontversenyben kitûzött nehezebb feladatok

Minden A-jelû feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

Naptár

2024. November

Óra

Népszámlálás

Indulás: 2004-09-08

Társoldalak

Köszöntõ

Véleménykutatás

Dryvit, hõszigetelés! Vállaljuk családi házak, nyaralók és egyéb épületek homlokzati szigetelését! 0630/583-3168 Hívjon! ***** A legfrissebb hírek a Super Mario világából és a legteljesebb adatbázis a Mario játékokról.Folyamatosan bõvülõ tartalom. ***** Gigágá! Márton napján is gyertek a Mesetárba! Nemcsak libát, de kacsát is kaptok! Játsszatok velünk! ***** A Nintendo a Nintendo Music-kal megint valami kiváló dolgot hozott létre! Alaposan nagyító alá vettem, az eredmény itt. ***** Leanderek, Parfümök, Olajok, és Szépségápolási termékek! Használd a LEVI10 kupont és kapj 10% kedvezményt!Megnyitottunk ***** Megjelent a Nintendo saját gyártású órája, a Nintendo Sound Clock Alarmo! Ha kíváncsi vagy, mit tud, itt olvashatsz róla ***** Megnyílt a webáruházunk! Parfümök, Szépségápolási termékek, Olajok mind egy helyen! Nyitási akciók, siess mert limitált! ***** Az általam legjobbnak vélt sportanimék listája itt olvasható. Top 10 Sportanime az Anime Odyssey-n! ***** Pont ITT Pont MOST! Pont NEKED! Már fejlesztés alatt is szebbnél szebb képek! Ha gondolod gyere less be! ***** Megnyílt a webáruházunk! NYITÁSI AKCIÓK! Tusfürdõ+Fogkrém+Sampon+Izzadásgátló+multifunkcionális balzsam most csak 4.490! ***** Új mese a Mesetárban! Téged is vár, gyere bátran! ***** Veterán anime rajongók egyik kedvence a Vadmacska kommandó. Retrospektív cikket olvashatsz róla az Anime Odyssey blogban ***** Parfümök, Olajok, Párologtatók mind egy weboldalon! Siess mert nyitási AKCIÓNK nem sokáig tart! Nagy kedvezmények várnak ***** Dryvit, hõszigetelés! Vállaljuk családi házak, nyaralók és egyéb épületek homlokzati szigetelését! 0630/583-3168 Hívjon! ***** Aki érdeklõdik a horoszkópja után, az nem kíváncsi, hanem intelligens. Rendeld meg most és én segítek az értelmezésben! ***** A Múzsa, egy gruppi élményei a színfalak mögött + napi agymenések és bölcseletek ***** KARATE OKTATÁS *** kicsiknek és nagyoknak *** Budapest I. II. XII.kerületekben +36 70 779-55-77 ***** Augusztus 26-án Kutyák Világnapja! Gyertek a Mesetárba, és ünnepeljétek kutyás színezõkkel! Vau-vau! ***** A horoszkóp elemzésed utáni érdeklõdés, nem kíváncsiság hanem intelligencia. Rendeld meg és nem fogod megbánni. Katt!!! ***** Cikksorozatba kezdtem a PlayStation történelmérõl. Miért indult nehezen a Sony karrierje a konzoliparban?